Arithmetic Functions and Integer Products

هر عدد صحیح مثبت m یک نمایش حاصلضرب از شکلی دارد که در آن v، k و ni اعداد صحیح مثبت هستند، و هر Ei = ± I. می‌توان مقداری برای v ارائه داد که در m یکنواخت است. یک نمایش را می توان طوری محاسبه کرد که هیچ ni از توان ثابت معینی 2 متر تجاوز نکند و تعداد k عبارت مورد نیاز از توان ثابت log 2m تجاوز نکند. بعد مجموعه ای از فضاهای احتمال محدود را در نظر بگیرید که معیارهای مرتبط آنها فقط مقادیر گویا را در نظر می گیرند. فرض کنید هگز) یک تابع با ارزش واقعی باشد که اطلاعات یک رویداد را اندازه گیری می کند، فقط بسته به احتمال x که آن رویداد با آن رخ می دهد. با فرض اینکه hex) غیر منفی باشد، و برای ارضای ویژگی‌های استاندارد معین، باید به شکل -A(x log x + (I - x) 10g (I -x) باشد. این نتایج چه مشترکاتی دارند؟هردوی آنها نظریه توابع حسابی را به کار می برند.دو دسته وسیع از توابع حسابی عبارتند از: توابع ضربی با ارزش واقعی و توابع ضربی با ارزش مختلط. در آغاز دهه 30 این قرن، کار Erdos، Kac، Kubilius، Turan و دیگران رشته ای را به مطالعه توزیع ارزش کلی توابع حسابی با معرفی ایده ها، روش ها و نتایج حاصل از نظریه احتمال داد. هنوز در حال توسعه شاخه ای از نظریه اعداد در جلدهای 239/240 این مجموعه، تحت عنوان نظریه اعداد احتمالاتی.

Every positive integer m has a product representation of the form where v, k and the ni are positive integers, and each Ei = ± I. A value can be given for v which is uniform in the m. A representation can be computed so that no ni exceeds a certain fixed power of 2m, and the number k of terms needed does not exceed a fixed power of log 2m. Consider next the collection of finite probability spaces whose associated measures assume only rational values. Let hex) be a real-valued function which measures the information in an event, depending only upon the probability x with which that event occurs. Assuming hex) to be non­ negative, and to satisfy certain standard properties, it must have the form -A(x log x + (I - x) 10g(I -x». Except for a renormalization this is the well-known function of Shannon. What do these results have in common? They both apply the theory of arithmetic functions. The two widest classes of arithmetic functions are the real-valued additive and the complex-valued multiplicative functions. Beginning in the thirties of this century, the work of Erdos, Kac, Kubilius, Turan and others gave a discipline to the study of the general value distribution of arithmetic func­ tions by the introduction of ideas, methods and results from the theory of Probability. I gave an account of the resulting extensive and still developing branch of Number Theory in volumes 239/240 of this series, under the title Probabilistic Number Theory.