Statistical Methods in Quantum Optics 1: Master Equations and Fokker-Planck Equations

- symmetric-ordered averages......Page 
Preface 7......Page 0007
1.1 Introduction 1......Page 0021
- decay of 2......Page 0022
1.3 System Plus Reservoir Approach 3......Page 0023
--- dissipation 5......Page 0025
Master equation 6......Page 0026
- operators 7......Page 0027
- - in the interaction picture 9......Page 0029
-- in thermal equilibrium 18......Page 0038
- of density operator 19......Page 0039
Quantum regression theorem 20-24......Page 0040
1.5.2 Quantum Regression Theorem for a Complete Set of Operators 23......Page 0043
--- equilibrium 25......Page 0045
Pauli spin operators 27-29......Page 0047
--- atom 30......Page 0050
Einstein A coefficient 33......Page 0053
2.2.3 Matrix Element Equations, Correlation Functions, and Spontaneous Emission Spectrum 34......Page 0054
- damping 37......Page 0057
- and the Lorentz oscillator model 41......Page 0061
- resonance fluorescence 43......Page 0063
2.3.2 Master Equation for a Two-Level Atom Driven by a Classical Field 46......Page 0066
Decay times, Tl and T2 49......Page 0069
- relationship to quasienergies 54......Page 0074
--- order 58......Page 0078
2.3.6 Photon Antibunching and Squeezing 62......Page 0082
3. Quantum-Classical Correspondence for the Electromagnetic Field I: The Glauber-Sudarshan P Representation      73......Page 0093
3.1 The G lauber-Sudarshan P Representation 74......Page 0094
Minimum uncertainty state 75......Page 0095
R representation 79......Page 0099
3.1.3 Examples: Coherent States, Thermal States, and Fock States 81......Page 0101
-- action on la)(al 87......Page 0107
3.1.5 Solution of the Fokker-Planck Equation 89......Page 0109
3.2 The Characteristic Function for Normal-Ordered Averages. 92......Page 0112
- defined 93......Page 0113
3.2.2 Derivation of the Fokker-Planck Equation U sing the Characteristic Function 94......Page 0114
Wigner representation 99......Page 0119
- defined 100......Page 0120
- - in the Q representation 103......Page 0123
- normal-ordered averages evaluated in 106......Page 0126
- defined 108......Page 0128
4.2.1 Wigner Distribution for a Fock State 112......Page 0132
4.2.2 Damped Fock State in the P Representation 115......Page 0135
- non-positivity of 118......Page 0138
- for a damped Fock state 121......Page 0141
- - antinormal-ordered 122-124......Page 0142
4.3.2 Associated Functions and the Master Equation 127......Page 0147
- time order 129......Page 0149
4.3.4 More General Two-Time Averages Using the P Representation 131......Page 0151
--- series evaluated in 135-136......Page 0155
Fokker-Planck equation 145-147......Page 0165
- linear 146......Page 0166
--- motion for 147-148......Page 0167
- potential conditions 151......Page 0171
System size expansion 153-158......Page 0173
5.1.4 Limitations of the Linearized Treatment of Flu ct u at ions 158......Page 0178
--- expansion 162......Page 0182
--- distribution 163......Page 0183
Similarity transformation 164......Page 0184
Positive definite, semidefinite diffusion 167......Page 0187
-- means, time-dependent 169......Page 0189
5.2.4 Equation of Motion for the Covariance Matrix 172......Page 0192
- - spectrum of fluctuations 174-175......Page 0194
- in stochastic differential equations 176......Page 0196
5.3.1 A Comment on Notation 1 77......Page 0097
5.3.2 The Wiener Process 1 78......Page 0098
- nondifferentiabilityof 181......Page 0201
- in numerical simulations 184......Page 0204
--- equation 188-189......Page 0208
Ornstein-Uhlenbeck process 190......Page 0210
- - for pseudo-spin operators 193......Page 0213
-- two-level atoms 194......Page 0214
6.1.2 Some Operator Algebra 195......Page 0215
6.1.3 Phase-Space Equation of Motion for the Damped Two-Level Atom 197......Page 0217
6.1.4 A Singular Solution to the Phase-Space Equation of Motion 203......Page 0223
6.2 Normal-Ordered Representation for a Collection of Two-Level Atoms 209......Page 0229
- and collective atomic operators 210......Page 0230
6.2.2 Direct Product States, Dicke States, and Atomic Coherent States 214......Page 0234
- cooperative 220......Page 0240
- distribution over 221......Page 0241
- - for collective atomic operators 224......Page 0244
- for two-level atoms 230......Page 0250
--- atoms 231......Page 0251
6.3.2 Closed Dynamics for Normally-Ordered Averages of Collective Operators 234......Page 0254
6.3.3 Operator Averages Without Quantum Fluctuations 239......Page 0259
6.3.4 Phase-Space Equation of Motion for Independently Damped Two-Level Atoms 243......Page 0263
--- states 246......Page 0266
--- medium 250......Page 0270
7. The Single-Mode Homogeneously Broadened Laser I: Preliminaries      255......Page 0275
7.1.1 Rate Equations and Laser Threshold 256......Page 0276
Inversion clamping (pinning) 261......Page 0281
- birth-death model for 266-270......Page 0286
- quantum, in the laser 274......Page 0294
- microscopic model for 278......Page 0298
7.2.2 Master Equation for the Single-Mode Homogeneously Broadened Laser 282......Page 0302
--- broadened laser 284......Page 0304
--- broadened laser 285......Page 0305
- Heisenberg operator 287......Page 0307
Cavity output field 291-293......Page 0311
- first-order correlation function 293-294......Page 0313
7.3.4 Spectrum of the Free Field plus Source Field for the Laser Below Threshold 300......Page 0320
- in laser theory 303......Page 0323
8.1.2 Laser Equations Without Fluctuations 310......Page 0330
8.1.3 Linearized Treatment of Quantum Fluctuations Below Threshold 314......Page 0334
--- polarization 318......Page 0338
- - laser threshold 323-324......Page 0343
--- threshold 324......Page 0344
- - at threshold 327......Page 0347
- - range of validity of 329......Page 0349
8.3.1 System Size Expansion Above Threshold 331......Page 0351
--- elimination 338......Page 0358
- - above threshold 343......Page 0363
References 347......Page 0367
Index 353......Page 0373
-- and nonlinearity 277-278......Page 0297
32......Page 52
33......Page 53
41......Page 61
- steady-state inversion 259-261......Page 0279
- - determination of in laser theory 304......Page 324
325......Page 345
--- the field amplitude 340......Page 0360
--- sum and difference 341......Page 0361
314......Page 334
318......Page 338
- - in the polarization and inversion 339......Page 0359
321......Page 341
342......Page 362
Amplitude and phase operators 332......Page 0352
327......Page 347
331......Page 351
334......Page 354
- - degeneracy 216-217......Page 0236
--- order 63......Page 0083
Atomic coherent state 219......Page 0239
- for a Fock state 101......Page 0121
110......Page 130
137......Page 157
- at a critical point 159-160......Page 0179
Bloch sphere 50......Page 0070
145......Page 165
149......Page 169
178......Page 198
Stratonovich 186-188......Page 0206
--- free field 290......Page 0310
- applied 25......Page 45
300......Page 320
Lorenz equations 313......Page 0333
- difficulties with 153......Page 173
- equation of motion for 94......Page 114
103......Page 123
197......Page 217
243......Page 263
--- atom 198......Page 0218
-- for two-level atoms 194......Page 214
203......Page 223
--- evaluated in 100......Page 120
124......Page 144
93......Page 113
122......Page 142
--- distributions 101......Page 121
- no need for generalized functions 114......Page 0134
--- evaluated in 108......Page 128
- as a power series in normal order 125......Page 145
Characteristics, method of 91......Page 111
165......Page 185
--- of photon detection probabilities 60-62......Page 0080
Rotating-wave approximation 4......Page 0024
- for collective atomic operators 211......Page 0231
- for a two-level atom, defined 29......Page 0049
- harmonic oscillator 2......Page 22
4......Page 24
Quasimode 19......Page 39
105......Page 125
287......Page 307
Random variable 177......Page 197
- between free field and source field 294......Page 314
296......Page 316
- - in the laser field 317......Page 0337
241......Page 261
242......Page 262
253......Page 273
43......Page 63
-- with subsystem interaction in Hs 46......Page 66
- for filtered thermal light 26......Page 0046
- - for laser output field, first-order 302......Page 322
344......Page 364
322......Page 342
- - free-field, source-field 294......Page 0314
--- atom 35......Page 0055
- for reservoir in thermal equilibrium 12......Page 0032
- - covariance matrix 168......Page 188
249......Page 269
-- in the medium polarization 317......Page 337
- limitations of 160-162......Page 0180
-- decay of 161......Page 0181
85......Page 105
- for two-level atoms 204......Page 224
102......Page 122
--- tion variable 223......Page 243
-- mean, in thermal equilibrium 11......Page 0031
dimension 289......Page 0309
Detailed balance 270......Page 0290
- factorization of 189......Page 209
341......Page 361
-- steady-state solution 151......Page 171
152......Page 172
30......Page 50
232......Page 252
- matrix representation for 28......Page 0048
Generating function 251......Page 0271
92......Page 112
179......Page 199
-- in system size expansion 158......Page 178
250......Page 270
130......Page 150
135......Page 155
- - energy eigenvalues 53......Page 0073
--- states 217-219......Page 0237
- of the inversion operator 215......Page 0235
-- energy density in 257-259......Page 0277
- for electromagnetic field modes 44......Page 64
289......Page 309
--- defined 55......Page 0075
- intrinsic 154......Page 174
278......Page 298
329......Page 349
335......Page 355
--- polarization 316......Page 0336
320......Page 340
- - pump 321......Page 0341
112......Page 132
--- state 1......Page 21
- - conditional distribution satisfying 148......Page 168
150......Page 170
- thermal 18......Page 38
--- initial Fock state 117......Page 0137
- drift term 148......Page 0168
- - with nonradiative dephasing 248......Page 0268
- - in the asymptotic limit t  00......Page 20
- - covariance matrix, steady-state 173......Page 0193
Green function 89......Page 109
97......Page 117
- for a damped coherent state 111......Page 0131
--- broadened laser 273......Page 293
275......Page 295
--- the field phase 342......Page 0362
--- fluctuations 319......Page 0339
- - range of validity of 345......Page 0365
--- expansion 309......Page 0329
337......Page 357
- - with nonradiative dephasing 202......Page 222
--- sion 222......Page 0242
--- autocorrelation matrix 169......Page 189
174......Page 194
- - means, equation of motion for 171......Page 0191
166......Page 186
170......Page 190
72......Page 92
-- in system size expansion 157......Page 0177
- - steady-state solution 166......Page 0186
- - steady-state variance 150......Page 0170
Functional 85......Page 0105
- as solution to differential equation 183......Page 0203
Generalized function 84......Page 104
111......Page 131
115......Page 135
164......Page 184
226......Page 246
343......Page 363
Ro 38......Page 0058
- solutions to 52......Page 0072
- coupled 3......Page 23
173......Page 193
--- motion for a lossy cavity mode 295-296......Page 0315
Rabi frequency 47......Page 0067
288......Page 308
- collective, for N two-level atoms 210......Page 230
237......Page 257
Interaction picture 5......Page 25
15......Page 35
--- blackbody spectrum 301-302......Page 0321
206......Page 226
212......Page 232
215......Page 235
245......Page 265
156......Page 176
- macroscopic law 157......Page 177
309......Page 329
34......Page 54
- and the rotating-wave approximation 17......Page 37
- equations without fluctuations 311......Page 0331
- - in amplitude and phase variables 336......Page 0356
-- steady-state solutions 311......Page 331
338......Page 358
-- with nonradiative dephasing 313......Page 333
- Fokker-Planck equation 273......Page 0293
276......Page 296
345......Page 365
- rate equations 257......Page 277
263......Page 283
- - above threshold 344......Page 0364
- - below threshold 322......Page 0342
- - rate equation for 263......Page 0283
328......Page 348
- photon number in 260......Page 280
- threshold region, defined 264......Page 284
- - control of 276......Page 0296
- Scully-Lamb theory of 267......Page 287
- stochastic model for 272-274......Page 0292
312......Page 332
- - distribution of 271-272......Page 0291
-- at threshold 265......Page 285
272......Page 292
- - birth-death equation for 267......Page 0287
- spontaneous emission rate into 262......Page 0282
- stimulated emission rate into 258......Page 0278
Mandel Q parameter 68......Page 0088
Markovapproximation 7......Page 27
11......Page 31
Markov process 179......Page 0199
- - at low temperatures 17......Page 0037
--- damped two-level atoms 233......Page 0253
--- atom 32......Page 0052
- for resonance fluorescence 48......Page 0068
- Lindblad form 16......Page 0036
- - with nonradiative dephasing 283......Page 0303
- in the Born approximation 8......Page 28
- phase-space equation of motion 127......Page 147
225......Page 245
283......Page 303
--- identical atoms 238......Page 0258
- modulation at 51......Page 0071
Noise-induced phase transitions 152......Page 0172
Squeezed state 142......Page 0162
- as a power series in antinormal order 123......Page 143
134......Page 154
133......Page 153
- as a power series in symmetric order 126......Page 0146
227......Page 247
235......Page 255
- pseudo-spin 29......Page 49
195......Page 215
106......Page 126
Superradiance, superfluorescence 220......Page 240
231......Page 251
- normalization 109......Page 0129
Superoperator 20......Page 40
139......Page 159
229......Page 249
297......Page 317
--- tion 21......Page 0041
- normal order 80......Page 0100
- - for collective atomic operators 212......Page 0232
Optical Bloch equations 49......Page 69
209......Page 229
307......Page 327
- - symmetric ordered 124......Page 0144
81......Page 101
- for a Fock state 83......Page 103
- for a damped coherent state 91......Page 0111
- for a damped Fock state 116......Page 136
117......Page 137
- for a thermal state 83......Page 0103
221......Page 241
222......Page 242
224......Page 244
Quantum-classical correspondence 74......Page 94
79......Page 99
86......Page 106
99......Page 119
205......Page 225
- normal-ordered averages evaluated in 80......Page 100
126......Page 146
--- two-time averages evaluated in 130......Page 0150
--- evaluated in 228-230......Page 0248
--- series evaluated in 133-135......Page 0153
--- reflection at a mirror 292......Page 0312
- flux 59......Page 0079
- for coherent scattering 64-65......Page 0084
- photon anti bunching in 42......Page 62
63......Page 83
67......Page 87
26......Page 46
-- sub-Poissonian 68......Page 88
- for a coherent state 104......Page 0124
- for a damped coherent state 105......Page 0125
- for a damped Fock state 119......Page 139
120......Page 140
--- system and reservoir 297......Page 0317
- Einstein 35......Page 55
57......Page 77
61......Page 81
301......Page 321
- familiar statement of 24......Page 0044
--- superoperators 22......Page 0042
109......Page 129
121......Page 141
142......Page 162
- - related to operator power series 123-126......Page 0143
208......Page 228
--- atoms 244......Page 0264
--- atom 200......Page 220
--- broadened laser 285......Page 305
286......Page 306
--- function for the density operator 125......Page 0145
73......Page 93
Random telegraph process 208......Page 0228
180......Page 200
182......Page 202
268......Page 288
- correlation functions 10......Page 30
39......Page 59
- cyclic property of 8......Page 0028
291......Page 311
- of two-level systems 280......Page 0300
- - in the interaction picture 9......Page 29
- statistically independent 233......Page 253
282......Page 302
58......Page 78
--- tion 65......Page 85
66......Page 86
- radiated power 56......Page 76
59......Page 79
- related to photon antibunching 69-72......Page 0089
Saturation photon number 260......Page 0280
- as system size parameter 275-278......Page 0295
Separation of variables 90......Page 110
316......Page 336
- spectrum 36......Page 0056
- in laser theory 262......Page 282
Squeezing, detection of 71......Page 0091
--- equation and 177-189......Page 0197
Stratonovich defined 185......Page 0205
- associated differential operator 128......Page 0148
234......Page 254
246......Page 266
303......Page 323
324......Page 344
- - divergence of fluctuations in 159......Page 179
323......Page 343
248......Page 268
System size parameter 154......Page 0174
- - assumed for fluctuations 155......Page 0175
326......Page 346
- - N two-level atoms 239......Page 259
- - of field amplitudes 156-157......Page 0176
-- of time at a critical point 160......Page 180
--- approximation 21......Page 41
298......Page 318
299......Page 319
Vacuum fluctuations 14......Page 0034
- continuity of 182......Page 0202
- defined 178-179......Page 0198
- discrete-time moments of 180......Page 0200
- for a Fock state 113......Page 0133
114......Page 134
- related to the P and Q distributions 110......Page 0130
--- two-time averages evaluated in 136-140......Page 0156