Functional Analysis in Asymmetric Normed Spaces

یک هنجار نامتقارن یک تابع زیرخطی قطعی مثبت p در فضای برداری واقعی X است. توپولوژی تولید شده توسط هنجار نامتقارن p تغییر ناپذیر است به طوری که جمع پیوسته است، اما عدم تقارن هنجار دلالت بر این دارد که ضرب با اسکالر فقط زمانی پیوسته است که به ورودی های غیر منفی در اول محدود شود. بحث و جدل. دوگانه نامتقارن X، به معنی مجموعه همه تابع‌های خطی نیمه پیوسته بالایی با ارزش واقعی در X، صرفاً یک مخروط محدب در فضای برداری همه تابع‌های خطی است. در X. با وجود این تفاوت ها، بسیاری از نتایج حاصل از تحلیل عملکردی کلاسیک با مراقبت از تعامل بین هنجار نامتقارن p و مزدوج آن، مشابه خود را در حالت نامتقارن دارند. از جمله نتایج مثبت می توان به موارد زیر اشاره کرد: قضایای نوع هان-باناخ و نتایج جداسازی برای مجموعه های محدب، قضایای نوع کرین-میلمن، آنالوگ های اصول بنیادی - نگاشت باز، نمودار بسته و قضایای کران یکنواخت - آنالوگ قضیه شودر در مورد فشردگی نگاشت مزدوج کاربردها برای بهترین مسائل تقریب ارائه شده است و به عنوان مثال های مرتبط، شبکه های هنجاری مجهز به هنجارهای نامتقارن و فضاهای توابع نیمه لیپسشیتز در فضاهای شبه متریک در نظر گرفته می شوند. از آنجایی که ابزارهای توپولوژیکی پایه از فضاهای شبه متریک و فضاهای شبه یکنواخت به دست می آیند، فصل اول کتاب شامل ارائه دقیق برخی از نتایج اساسی از تئوری این فضاها است. تمرکز روی نتایجی است که بیشترین استفاده را در تجزیه و تحلیل عملکردی دارند - کامل بودن، فشردگی و دسته بندی Baire - که به شدت با نتایج فضاهای متریک یا یکنواخت متفاوت است. کتاب نسبتاً مستقل است و پیش نیاز آن آشنایی با نتایج اولیه در توپولوژی و تحلیل عملکردی است، بنابراین می‌توان از آن برای مقدمه‌ای با موضوع استفاده کرد. از آنجایی که نتایج جدید در کانون تحقیقات فعلی نیز گنجانده شده است، محققان در این منطقه می توانند از آن به عنوان متن مرجع استفاده کنند.

An asymmetric norm is a positive definite sublinear functional p on a real vector space X. The topology generated by the asymmetric norm p is translation invariant so that the addition is continuous, but the asymmetry of the norm implies that the multiplication by scalars is continuous only when restricted to non-negative entries in the first argument. The asymmetric dual of X, meaning the set of all real-valued upper semi-continuous linear functionals on X, is merely a convex cone in the vector space of all linear functionals on X. In spite of these differences, many results from classical functional analysis have their counterparts in the asymmetric case, by taking care of the interplay between the asymmetric norm p and its conjugate. Among the positive results one can mention: Hahn–Banach type theorems and separation results for convex sets, Krein–Milman type theorems, analogs of the fundamental principles – open mapping, closed graph and uniform boundedness theorems – an analog of the Schauder’s theorem on the compactness of the conjugate mapping. Applications are given to best approximation problems and, as relevant examples, one considers normed lattices equipped with asymmetric norms and spaces of semi-Lipschitz functions on quasi-metric spaces. Since the basic topological tools come from quasi-metric spaces and quasi-uniform spaces, the first chapter of the book contains a detailed presentation of some basic results from the theory of these spaces. The focus is on results which are most used in functional analysis – completeness, compactness and Baire category – which drastically differ from those in metric or uniform spaces. The book is fairly self-contained, the prerequisites being the acquaintance with the basic results in topology and functional analysis, so it may be used for an introduction to the subject. Since new results, in the focus of current research, are also included, researchers in the area can use it as a reference text.