Complex Kleinian Groups

این تک‌نگاره پایه‌های نظریه گروه‌های پیچیده کلینی را می‌گذارد، حوزه‌ای تازه متولد شده از ریاضیات که منشأ آن به کارهای ریمان، پوانکاره، پیکارد و بسیاری دیگر برمی‌گردد. گروه های کلاینی، به طور کلاسیک، گروه های گسسته ای از خودمورفیسم های منسجم کره ریمان هستند، و این ها را می توان به عنوان گروه هایی از اتومورفیسم های هولومورفیک خط پرتابی پیچیده CP¹ نیز در نظر گرفت. وقتی وارد ابعاد بالاتر می‌شویم، دوگانگی وجود دارد: آیا باید به خودمورفیسم‌های هم‌شکل کره n نگاه کنیم؟، یا باید به اتومورفیسم‌های هولومورفیک فضاهای تصویری پیچیده ابعاد بالاتر نگاه کنیم؟ این دو نظریه در ابعاد بالاتر متفاوت هستند. در مورد اول، ما در مورد گروه هایی از ایزومتریک فضاهای هذلولی واقعی صحبت می کنیم، حوزه ای از ریاضیات با سنت دیرینه. در مورد دوم، ما در مورد حوزه ای از ریاضیات صحبت می کنیم که هنوز در دوران کودکی خود به سر می برد، و این موضوع تمرکز مطالعه در این تک نگاری است. این چندین حوزه مهم ریاضیات را گرد هم می‌آورد، به‌عنوان مثال، اقدامات گروهی کلاسیک کلینی، هندسه هذلولی پیچیده، گروه‌های کریستالوگرافی و مسئله یکنواختی برای منیفولدهای پیچیده.​

This monograph lays down the foundations of the theory of complex Kleinian groups, a newly born area of mathematics whose origin traces back to the work of Riemann, Poincaré, Picard and many others. Kleinian groups are, classically, discrete groups of conformal automorphisms of the Riemann sphere, and these can be regarded too as being groups of holomorphic automorphisms of the complex projective line CP¹. When going into higher dimensions, there is a dichotomy: Should we look at conformal automorphisms of the n-sphere?, or should we look at holomorphic automorphisms of higher dimensional complex projective spaces? These two theories are different in higher dimensions. In the first case we are talking about groups of isometries of real hyperbolic spaces, an area of mathematics with a long-standing tradition. In the second case we are talking about an area of mathematics that still is in its childhood, and this is the focus of study in this monograph. This brings together several important areas of mathematics, as for instance classical Kleinian group actions, complex hyperbolic geometry, chrystallographic groups and the uniformization problem for complex manifolds.​