Domain Decomposition Methods in Optimal Control of Partial Differential Equations

این تک نگاری مشکلات کنترل بهینه معادلات دیفرانسیل جزئی بیضوی و مهمتر از آن انواع هذلولی را در حوزه های شبکه ای در نظر می گیرد. هدف اصلی توصیف، توسعه و تجزیه و تحلیل دامنه تکراری فضا و زمان چنین مسائلی در سطح بینهایت بعدی است. در حالی که روش‌های تجزیه دامنه سابقه طولانی دارند که به بیش از صد سال قبل بازمی‌گردد، تنها در دهه گذشته است که به ابزار اصلی در تحلیل عددی معادلات دیفرانسیل جزئی تبدیل شده‌اند. یک کلمه کلیدی در این زمینه موازی گرایی است. این پیشرفت شاید با این واقعیت به بهترین شکل نشان داده شود که ما به تازگی با پانزدهمین کنفرانس سالانه دقیقاً در این موضوع روبرو شدیم. بدون تلاش برای ارائه فهرست کاملی از منابع مقدماتی، اجازه دهید تنها به تک نگاری Quarteroni و Valli [91] به عنوان یک مرجع کلی به روز در مورد روش های تجزیه دامنه برای معادلات دیفرانسیل جزئی اشاره کنیم. تاکید این تک نگاری قرار دادن روش‌های تجزیه دامنه در چارچوب مسائل به اصطلاح کنترل بهینه مجازی و مهم‌تر از آن، درمان مسائل کنترل بهینه برای معادلات دیفرانسیل جزئی و موقعیت‌های تجزیه آن‌ها با رویکرد یک‌باره است. این بدان معناست که ما عمدتاً به تکنیک‌های تجزیه علاقه‌مندیم که می‌توان آن‌ها را به عنوان مسائل کنترل بهینه مجازی تفسیر کرد و همراه با مسئله کنترل واقعی ناشی از یک برنامه کاربردی زیربنایی، منجر به دنباله‌ای از مسائل کنترل بهینه فردی در زیر دامنه‌ها می‌شود که به صورت تکراری هستند. در سراسر رابط ها جدا شده است.

This monograph considers problems of optimal control for partial differential equa­ tions of elliptic and, more importantly, of hyperbolic types on networked domains. The main goal is to describe, develop and analyze iterative space and time domain decompositions of such problems on the infinite-dimensional level. While domain decomposition methods have a long history dating back well over one hundred years, it is only during the last decade that they have become a major tool in numerical analysis of partial differential equations. A keyword in this context is parallelism. This development is perhaps best illustrated by the fact that we just encountered the 15th annual conference precisely on this topic. Without attempting to provide a complete list of introductory references let us just mention the monograph by Quarteroni and Valli [91] as a general up-to-date reference on domain decomposition methods for partial differential equations. The emphasis of this monograph is to put domain decomposition methods in the context of so-called virtual optimal control problems and, more importantly, to treat optimal control problems for partial differential equations and their decom­ positions by an all-at-once approach. This means that we are mainly interested in decomposition techniques which can be interpreted as virtual optimal control problems and which, together with the real control problem coming from an un­ derlying application, lead to a sequence of individual optimal control problems on the subdomains that are iteratively decoupled across the interfaces.