Complexity and Real Computation

نظریه پیچیدگی محاسباتی چارچوبی برای درک هزینه حل مسائل محاسباتی، همانطور که با نیاز به منابعی مانند زمان و مکان اندازه‌گیری می‌شود، فراهم می‌کند. موضوعات مورد مطالعه الگوریتم هایی هستند که در یک مدل رسمی محاسبات تعریف شده اند. مرزهای بالایی در پیچیدگی محاسباتی یک مسئله معمولاً با ساخت و تجزیه و تحلیل الگوریتم‌های خاص به دست می‌آیند. دستیابی به مرزهای پایین معنادار در پیچیدگی محاسباتی دشوارتر است و برای اکثر مشکلات مورد علاقه در دسترس نیست. رویکرد غالب در تئوری پیچیدگی این است که الگوریتم‌ها را بر روی رشته‌های محدودی از نمادها از یک الفبای محدود در نظر بگیریم. چنین رشته هایی ممکن است اشیاء گسسته مختلفی مانند اعداد صحیح یا عبارات جبری را نشان دهند، اما نمی توانند اعداد واقعی یا مختلط را بازنمایی کنند، مگر اینکه اعداد به مقادیر تقریبی از یک مجموعه گسسته گرد شوند. نگرانی اصلی این تئوری، تعداد مراحل محاسباتی مورد نیاز برای حل یک مسئله است که تابعی از طول رشته ورودی است.

Computational complexity theory provides a framework for understanding the cost of solving computational problems, as measured by the requirement for resources such as time and space. The objects of study are algorithms defined within a formal model of computation. Upper bounds on the computational complexity of a problem are usually derived by constructing and analyzing specific algorithms. Meaningful lower bounds on computational complexity are harder to come by, and are not available for most problems of interest. The dominant approach in complexity theory is to consider algorithms as oper­ ating on finite strings of symbols from a finite alphabet. Such strings may represent various discrete objects such as integers or algebraic expressions, but cannot rep­ resent real or complex numbers, unless the numbers are rounded to approximate values from a discrete set. A major concern of the theory is the number of com­ putation steps required to solve a problem, as a function of the length of the input string.