Bounded Queries in Recursion Theory

یکی از دغدغه‌های اصلی علم کامپیوتر نظری، طبقه‌بندی مسائل از نظر سختی آنهاست. معیار طبیعی دشواری یک تابع، مقدار زمان مورد نیاز برای محاسبه آن است (به عنوان تابعی از طول ورودی). منابع دیگری مانند فضا نیز در نظر گرفته شده است. در مقابل، در نظریه بازگشت، در صورتی که یک تابع وجود داشته باشد که آن را محاسبه کند، محاسبه آن آسان است. ما می خواهیم توابعی را که سخت هستند، یعنی قابل محاسبه نیستند، به روش کمی طبقه بندی کنیم. ما نمی توانیم از زمان یا مکان استفاده کنیم، زیرا توابع حتی قابل محاسبه نیستند. ما نمی توانیم از درجه تورینگ استفاده کنیم، زیرا این مفهوم کمی نیست. از این رو ما به مفهوم جدیدی از پیچیدگی نیاز داریم - بسیار شبیه زمان یا فضا - که کمی است و در عین حال به نوعی سطح دشواری (مانند درجه تورینگ) یک تابع را نشان می دهد.

One of the major concerns of theoretical computer science is the classifi­ cation of problems in terms of how hard they are. The natural measure of difficulty of a function is the amount of time needed to compute it (as a function of the length of the input). Other resources, such as space, have also been considered. In recursion theory, by contrast, a function is considered to be easy to compute if there exists some algorithm that computes it. We wish to classify functions that are hard, i.e., not computable, in a quantitative way. We cannot use time or space, since the functions are not even computable. We cannot use Turing degree, since this notion is not quantitative. Hence we need a new notion of complexity-much like time or spac~that is quantitative and yet in some way captures the level of difficulty (such as the Turing degree) of a function.