Power Algebras over Semirings: With Applications in Mathematics and Computer Science

این تک نگاری در ادامه چندین موضوع ارائه شده در کتاب های قبلی من است [146، 149]. در آن مجلدات، من در درجه اول به ویژگی های semirings توجه داشتم. در اینجا، اشیاء بررسی مجموعه هایی به شکل RA هستند، که در آن R یک semiring و A مجموعه ای است که ساختار خاصی دارد. مشکل ترجمه آن ساختار به RA به روشی "طبیعی" است. به این ترتیب، سعی می‌کند راهی یکپارچه برای پرداختن به موضوعات مختلف در ریاضیات و علوم کامپیوتر نظری مانند نظریه زبان رسمی، نظریه ساختارهای جبری فازی، مدل‌های کنترل بهینه و بسیاری دیگر بیابد. مورد خاص دیگر ایجاد \"تحلیل idempotent\" و کارهای مشابه در تئوری بهینه سازی است. برخلاف مورد کار قبلی، که بر پایه‌ی ریاضی نسبتاً ثابتی استوار بود، رویکرد در اینجا بسیار آزمایشی‌تر و مستندتر است. این مقدمه ای است، نه ارائه قطعی، حوزه ای از ریاضیات که هنوز در دست ساخت است. مسئله اساسی فلسفی که در پس زمینه نهفته است، به طور خلاصه توسط هاله و سوستاک [185] بیان شده است: «... تا چه حد رشته های اساسی ریاضیات مانند جبر و توپولوژی به نظریه مجموعه های اساسی وابسته هستند؟» تعاریف متضاد ارائه شده توسط محققان مختلف در جستجوی راه حلی برای این معما نشان می دهد که دیدن این مشکل در نور مناسب چقدر دشوار است.

This monograph is a continuation of several themes presented in my previous books [146, 149]. In those volumes, I was concerned primarily with the properties of semirings. Here, the objects of investigation are sets of the form RA, where R is a semiring and A is a set having a certain structure. The problem is one of translating that structure to RA in some "natural" way. As such, it tries to find a unified way of dealing with diverse topics in mathematics and theoretical com­ puter science as formal language theory, the theory of fuzzy algebraic structures, models of optimal control, and many others. Another special case is the creation of "idempotent analysis" and similar work in optimization theory. Unlike the case of the previous work, which rested on a fairly established mathematical foundation, the approach here is much more tentative and docimastic. This is an introduction to, not a definitative presentation of, an area of mathematics still very much in the making. The basic philosphical problem lurking in the background is one stated suc­ cinctly by Hahle and Sostak [185]: ". . . to what extent basic fields of mathematics like algebra and topology are dependent on the underlying set theory?" The conflicting definitions proposed by various researchers in search of a resolution to this conundrum show just how difficult this problem is to see in a proper light.