Global Analysis in Linear Differential Equations

از آنجایی که ابتکار عمل برای تحلیل جهانی معادلات دیفرانسیل خطی توسط G.G. استوکس و بی ریمان در سال 1857، تابع Airy و تابع فوق هندسی گاوس به مهمترین و بزرگترین توابع ویژه کاربردی تبدیل شدند که کاربردهای متنوعی در علوم ریاضی، فیزیک و مهندسی دارند. cffcctivity این توابع اساساً به دلیل \"رفتار در بزرگ\" آنها است. به عنوان مثال، تابع Airy نقش اساسی در تجزیه و تحلیل مجانبی بسیاری از توابع که به عنوان حل معادلات دیفرانسیل در چندین مسئله ریاضیات ریاضی کاربردی به وجود می آیند، ایفا می کند. در صورت به کارگیری رفتار آن، همواره باید به پدیده استوکس توجه کرد. از سوی دیگر، همانطور که می‌دانیم، تابع فراهندسی گاوس در تمام زمینه‌های ریاضیات، به عنوان مثال، در نظریه اعداد، در نظریه گروه‌ها و در خود آنالیز به وجود می‌آید. زیاد نیست که بگوییم همه سری های توانی موارد خاص یا توسعه یافته سری های فرا هندسی هستند. برای استفاده کامل از ویژگی های آن، نیاز به فرمول های اتصال یا روابط پیوسته است.

Since the initiative works for global analysis of linear differential equations by G.G. Stokes and B. Riemann in 1857, the Airy function and the Gauss hypergeometric function became the most important and the greatest practical special functions, which have a variety of applications to mathematical science, physics and engineering. The cffcctivity of these functions is essentially due to their "behavior in the large" . For instance, the Airy function plays a basic role in the asymptotic analysis of many functions arising as solutions of differential equations in several problems of applied math­ ematics. In case of the employment of its behavior, one should always pay attention to the Stokes phenomenon. On the other hand, as is well-known, the Gauss hypergeometric function arises in all fields of mathematics, e.g., in number theory, in the theory of groups and in analysis itself. It is not too much to say that all power series are special or extended cases of the hypergeometric series. For the full use of its properties, one needs connection formulas or contiguous relations.