Numerical Data Fitting in Dynamical Systems: A Practical Introduction with Applications and Software

پدیده‌های زندگی واقعی در علوم مهندسی، طبیعی یا پزشکی اغلب با یک مدل ریاضی با هدف تحلیل عددی رفتار سیستم توصیف می‌شوند. مزایای مدل های ریاضی در دسترس بودن ارزان آنها، امکان مطالعه موقعیت های شدید که با آزمایش ها قابل کنترل نیستند، یا شبیه سازی سیستم های واقعی در مرحله طراحی قبل از ساخت اولین نمونه اولیه است. علاوه بر این، آنها برای تأیید تصمیم‌ها، اجتناب از آزمایش‌های آزمایشی پرهزینه و زمان‌بر، تجزیه و تحلیل، درک و توضیح رفتار سیستم‌ها یا بهینه‌سازی طراحی و تولید استفاده می‌کنند. به محض اینکه یک مدل ریاضی دارای وابستگی های دیفرانسیل از یک پارامتر اضافی، معمولاً زمان، باشد، آن را مدل دینامیکی می نامیم. دو سوال کلیدی همیشه در یک محیط عملی مطرح می شود: 1 آیا مدل ریاضی صحیح است؟ 2 چگونه می توانم پارامترهای مدل را که نمی توان مستقیماً اندازه گیری کرد کمیت کنم؟ در اصل، به محض در دسترس بودن برخی از داده های تجربی، به هر دو سؤال به راحتی پاسخ داده می شود. ایده مقایسه داده های اندازه گیری شده با مقادیر تابع مدل پیش بینی شده و به حداقل رساندن تفاوت ها در کل فضای پارامتر است. اگر نتوانیم یک تناسب منطقی دقیق پیدا کنیم، باید یک مدل را رد کنیم. به طور خلاصه، تخمین پارامتر یا برازش داده‌ها، به ترتیب، در همه موقعیت‌های عملی، که در آن یک مدل ریاضی و داده‌های تجربی مربوطه برای توصیف رفتار یک سیستم دینامیکی در دسترس است، بسیار مهم است.

Real life phenomena in engineering, natural, or medical sciences are often described by a mathematical model with the goal to analyze numerically the behaviour of the system. Advantages of mathematical models are their cheap availability, the possibility of studying extreme situations that cannot be handled by experiments, or of simulating real systems during the design phase before constructing a first prototype. Moreover, they serve to verify decisions, to avoid expensive and time consuming experimental tests, to analyze, understand, and explain the behaviour of systems, or to optimize design and production. As soon as a mathematical model contains differential dependencies from an additional parameter, typically the time, we call it a dynamical model. There are two key questions always arising in a practical environment: 1 Is the mathematical model correct? 2 How can I quantify model parameters that cannot be measured directly? In principle, both questions are easily answered as soon as some experimental data are available. The idea is to compare measured data with predicted model function values and to minimize the differences over the whole parameter space. We have to reject a model if we are unable to find a reasonably accurate fit. To summarize, parameter estimation or data fitting, respectively, is extremely important in all practical situations, where a mathematical model and corresponding experimental data are available to describe the behaviour of a dynamical system.