Cardinalities of Fuzzy Sets

شمارش یکی از فعالیت های ریاضی ابتدایی است. این با دو جنبه مکمل همراه است: تعیین تعداد عناصر یک مجموعه - و ایجاد نظم بین اشیاء شمارش فقط با شمارش آنها. برای مجموعه های متناهی از اجسام، این دو جنبه توسط یک نوع اعداد تحقق می یابد: اعداد طبیعی. این که این جنبه‌های تکمیلی فرآیند شمارش ممکن است به انواع مختلفی از اعداد نیاز داشته باشند، اگر فرآیند شمارش را به مجموعه‌های بی‌نهایت گسترش دهیم، آشکار می‌شود. به عنوان ابزار کلی برای تعیین تعداد عناصر، کاردینال ها در نظریه مجموعه ها ایجاد شده اند، و نظریه پردازان مجموعه ها به طور موازی ترتیبی را برای شمارش روی هر مجموعه ای از اشیاء ایجاد کرده اند. برای هر دو نوع اعداد نه تنها شمارش آنها برای آنها استفاده می شود، بلکه فرآیند محاسباتی به شدت مرتبط است - به ویژه جمع و برگرفته از آن، ضرب و حتی توان - که بر اساس این اعداد است. برای مجموعه های فازی، ایده شمارش، در هر دو جنبه، اساس ساده لوحانه خود را از دست می دهد: زیرا تا حد زیادی بر این ایده استوار است که تمایز روشنی بین آن اشیایی که باید شمارش شوند - و آنهایی که باید شمارش شوند وجود دارد. برای فرآیند شمارش خاص نادیده گرفته شود.

Counting is one of the basic elementary mathematical activities. It comes with two complementary aspects: to determine the number of elements of a set - and to create an ordering between the objects of counting just by counting them over. For finite sets of objects these two aspects are realized by the same type of num­ bers: the natural numbers. That these complementary aspects of the counting pro­ cess may need different kinds of numbers becomes apparent if one extends the process of counting to infinite sets. As general tools to determine numbers of elements the cardinals have been created in set theory, and set theorists have in parallel created the ordinals to count over any set of objects. For both types of numbers it is not only counting they are used for, it is also the strongly related process of calculation - especially addition and, derived from it, multiplication and even exponentiation - which is based upon these numbers. For fuzzy sets the idea of counting, in both aspects, looses its naive foundation: because it is to a large extent founded upon of the idea that there is a clear distinc­ tion between those objects which have to be counted - and those ones which have to be neglected for the particular counting process.