A Geometric Approach to Thermomechanics of Dissipating Continua

در طول قرن ها، توسعه و رشد مفاهیم ریاضی به شدت توسط نیازهای مکانیک تحریک شده است. جبر برداری برای توصیف تعادل سیستم های نیرو ایجاد شد و از آزمایشات استوین (1548-1620) نشات گرفت. سپس تحلیل برداری برای مطالعه میدان‌های سرعت و میدان‌های نیرو معرفی شد. دینامیک کلاسیک نیاز به حساب دیفرانسیل توسعه یافته توسط نیوتن (1687) داشت. با این وجود، مفهوم شتاب ذرات نقطه شروعی برای معرفی فضازمان ساختاریافته بود. سرعت لحظه ای مجموعه ای از موقعیت های ذرات در فضا را شامل می شود. تئوری جبر برداری برای مقایسه سرعت های مختلف یک ذره در طول زمان کافی نبود. قبل از هر عملیات جبری برداری، نیاز به انتقال (موازی) این سرعت ها در یک نقطه وجود داشت. ساختار ریاضی مناسب برای این انتقال، اتصال بود. I اتصال اقلیدسی برگرفته از تانسور متریک جسم ارجاعی تنها اتصالی بود که برای بیش از دو قرن در مکانیک استفاده می شد. سپس گام‌های عمده‌ای در تکامل مفاهیم فضا-زمان توسط اینشتین در سال 1905 (نسبیت خاص) و 1915 (نسبیت عام) با استفاده از اتصال ریمانی انجام شد. اندکی بعد، فضازمان غیرنسبیتی که شامل ویژگی های اصلی نسبیت عام است، حدود یک و نیم قرن طول کشید تا نظریه اتصال به عنوان یک نظریه مستقل در ریاضیات پذیرفته شود. مراحل اصلی برای مفهوم اتصال به یک سری از یافته ها نسبت داده می شود: ریمان 1854، کریستوفل 1869، ریچی 1888، لوی-سیویتا 1917، وی جی 1918، کارتان 1923، اشرمن 1950.

Across the centuries, the development and growth of mathematical concepts have been strongly stimulated by the needs of mechanics. Vector algebra was developed to describe the equilibrium of force systems and originated from Stevin's experiments (1548-1620). Vector analysis was then introduced to study velocity fields and force fields. Classical dynamics required the differential calculus developed by Newton (1687). Nevertheless, the concept of particle acceleration was the starting point for introducing a structured spacetime. Instantaneous velocity involved the set of particle positions in space. Vector algebra theory was not sufficient to compare the different velocities of a particle in the course of time. There was a need to (parallel) transport these velocities at a single point before any vector algebraic operation. The appropriate mathematical structure for this transport was the connection. I The Euclidean connection derived from the metric tensor of the referential body was the only connection used in mechanics for over two centuries. Then, major steps in the evolution of spacetime concepts were made by Einstein in 1905 (special relativity) and 1915 (general relativity) by using Riemannian connection. Slightly later, nonrelativistic spacetime which includes the main features of general relativity I It took about one and a half centuries for connection theory to be accepted as an independent theory in mathematics. Major steps for the connection concept are attributed to a series of findings: Riemann 1854, Christoffel 1869, Ricci 1888, Levi-Civita 1917, WeyJ 1918, Cartan 1923, Eshermann 1950.