Duality Principles in Nonconvex Systems: Theory, Methods and Applications

این کتاب با انگیزه مشکلات عملی در مهندسی و فیزیک، با تکیه بر طیف گسترده ای از رشته های ریاضی کاربردی، اولین کتابی است که در یک چارچوب یکپارچه، یک نظریه ریاضی جامع و مستقل از دوگانگی برای غیر محدب عمومی ارائه می دهد. سیستم های غیر صاف، با تاکید بر روش ها و کاربردها در مکانیک مهندسی. موضوعات تحت پوشش شامل تک دوگانگی کلاسیک (مینیممکس) تعادل های استاتیکی محدب، دوگانه زیبا در سیستم های دینامیکی، سه گانه جالب در مسائل غیر محدب و چند دوگانگی پیچیده در سیستم های متعارف عمومی است. یک روش تبدیل دوگانه متعارف متوالی بالقوه قدرتمند برای حل مسائل کاملاً غیرخطی به صورت اکتشافی توسعه یافته و با استفاده از بسیاری از مثال‌های جالب و همچنین کاربردهای گسترده در طیف گسترده‌ای از سیستم‌های غیرخطی، از جمله معادلات دیفرانسیل، مسائل تغییرات و نابرابری‌ها، بهینه‌سازی جهانی محدود، نشان داده شده است. انتقال فاز چند چاهی، پس از انشعاب غیر هموار، مکانیک تغییر شکل بزرگ، تحلیل حد سازه، هندسه دیفرانسیل و سیستم های دینامیکی غیر محدب.
این کار با بیانی بسیار منسجم و شفاف، شکاف بزرگی را بین علوم ریاضی و مهندسی پر می‌کند. این نشان می‌دهد که چگونه می‌توان از زبان رسمی و روش‌های دوگانگی برای مدل‌سازی پدیده‌های طبیعی، ساخت چارچوب‌های ذاتی در زمینه‌های مختلف و ارائه ایده‌ها، مفاهیم و روش‌های قدرتمند برای حل مسائل غیر محدب و غیر هموار که به‌طور طبیعی در مهندسی و علم به وجود می‌آیند، استفاده کرد. بیشتر کتاب حاوی مطالبی است که هم از نظر نحوه ارائه و هم در توسعه تحقیقاتی جدید است. یک ضمیمه مستقل، زمینه لازم را از تحلیل عملکردی ابتدایی فراهم می کند.
مخاطبان: این کتاب منبع ارزشمندی برای دانشجویان و محققان در ریاضیات کاربردی، فیزیک، مکانیک و مهندسی خواهد بود. کل جلد یا فصل‌های انتخابی را می‌توان به عنوان متنی برای دوره‌های ارشد و کارشناسی ارشد در ریاضیات کاربردی، مکانیک، علوم مهندسی عمومی و سایر زمینه‌هایی که در آن مفاهیم بهینه‌سازی و روش‌های تنوع به کار می‌رود، توصیه کرد.

Motivated by practical problems in engineering and physics, drawing on a wide range of applied mathematical disciplines, this book is the first to provide, within a unified framework, a self-contained comprehensive mathematical theory of duality for general non-convex, non-smooth systems, with emphasis on methods and applications in engineering mechanics. Topics covered include the classical (minimax) mono-duality of convex static equilibria, the beautiful bi-duality in dynamical systems, the interesting tri-duality in non-convex problems and the complicated multi-duality in general canonical systems. A potentially powerful sequential canonical dual transformation method for solving fully nonlinear problems is developed heuristically and illustrated by use of many interesting examples as well as extensive applications in a wide variety of nonlinear systems, including differential equations, variational problems and inequalities, constrained global optimization, multi-well phase transitions, non-smooth post-bifurcation, large deformation mechanics, structural limit analysis, differential geometry and non-convex dynamical systems.
With exceptionally coherent and lucid exposition, the work fills a big gap between the mathematical and engineering sciences. It shows how to use formal language and duality methods to model natural phenomena, to construct intrinsic frameworks in different fields and to provide ideas, concepts and powerful methods for solving non-convex, non-smooth problems arising naturally in engineering and science. Much of the book contains material that is new, both in its manner of presentation and in its research development. A self-contained appendix provides some necessary background from elementary functional analysis.
Audience: The book will be a valuable resource for students and researchers in applied mathematics, physics, mechanics and engineering. The whole volume or selected chapters can also be recommended as a text for both senior undergraduate and graduate courses in applied mathematics, mechanics, general engineering science and other areas in which the notions of optimization and variational methods are employed.