Physical Applications of Homogeneous Balls

یکی از چالش های ریاضی فیزیک مدرن در توسعه ابزارهای جدید برای توصیف موثر شاخه های مختلف فیزیک در یک چارچوب ریاضی نهفته است. این متن دقیقاً چنین مدل ریاضی گسترده ای را معرفی می کند، مدلی که بیان هندسی واضحی از تقارن قوانین فیزیکی ارائه می دهد و کاملاً توسط آن تقارن تعیین می شود.

سه فصل اول بحث می کند. وقوع حوزه های متقارن محدود (BSDs) یا توپ های همگن و ساختار جبری آنها در فیزیک. نشان داده شده است که مجموعه تمام سرعت های ممکن با توجه به گروه تصویری یک BSD است. جبر دروغ این گروه که به صورت یک ضرب سه گانه بیان می شود، دینامیک نسبیتی را تعریف می کند. BSD خاص که به عنوان ضریب اسپین شناخته می شود به دو صورت نمایش داده می شود: اول، به عنوان یک نمایش سه گانه از روابط ضد کموتاسیون متعارف، و دوم، به عنوان توپی از سرعت های متقارن. گروه مرتبط گروه منسجم است و حاصل ضرب سه گانه در این دامنه نمایشی از محصول هندسی تعریف شده در جبرهای کلیفورد را ارائه می دهد. توضیح داده شده است که چرا فضای حالت یک سیستم مکانیکی کوانتومی دو حالته، فضای دوگانه یک ضریب اسپین است. ایده‌هایی از تئوری خط انتقال برای استخراج شکل صریح تبدیل‌های عملگر Mobius استفاده می‌شود. این کتاب بیشتر بحثی را در مورد چگونگی به دست آوردن یک ساختار جبری سه گانه مرتبط با BSD دلخواه ارائه می دهد. رابطه بین هندسه حوزه و ساختار جبری نیز بررسی شده است. فصل آخر شامل طبقه بندی BSD ها است که ارتباط بین حوزه های کلاسیک و استثنایی را آشکار می کند.

این کار با رویکرد یکپارچه خود به ریاضیات و فیزیک، برای محققان و محققان مفید خواهد بود. دانشجویان فارغ التحصیل علاقه مند به بسیاری از کاربردهای فیزیکی حوزه های متقارن محدود هستند. همچنین برای مخاطبان وسیع تری از ریاضیدانان، فیزیکدانان و دانشجویان فارغ التحصیل که در زمینه نسبیت، هندسه و نظریه دروغ کار می کنند، سود خواهد برد.

One of the mathematical challenges of modern physics lies in the development of new tools to efficiently describe different branches of physics within one mathematical framework. This text introduces precisely such a broad mathematical model, one that gives a clear geometric expression of the symmetry of physical laws and is entirely determined by that symmetry.

The first three chapters discuss the occurrence of bounded symmetric domains (BSDs) or homogeneous balls and their algebraic structure in physics. It is shown that the set of all possible velocities is a BSD with respect to the projective group; the Lie algebra of this group, expressed as a triple product, defines relativistic dynamics. The particular BSD known as the spin factor is exhibited in two ways: first, as a triple representation of the Canonical Anticommutation Relations, and second, as a ball of symmetric velocities. The associated group is the conformal group, and the triple product on this domain gives a representation of the geometric product defined in Clifford algebras. It is explained why the state space of a two-state quantum mechanical system is the dual space of a spin factor. Ideas from Transmission Line Theory are used to derive the explicit form of the operator Mobius transformations. The book further provides a discussion of how to obtain a triple algebraic structure associated to an arbitrary BSD; the relation between the geometry of the domain and the algebraic structure is explored as well. The last chapter contains a classification of BSDs revealing the connection between the classical and the exceptional domains.

With its unifying approach to mathematics and physics, this work will be useful for researchers and graduate students interested in the many physical applications of bounded symmetric domains. It will also benefit a wider audience of mathematicians, physicists, and graduate students working in relativity, geometry, and Lie theory.