Stochastic Ordinary and Stochastic Partial Differential Equations: Transition from Microscopic to Macroscopic Equations

این کتاب اولین مشتق دقیق معادلات مزوسکوپی و ماکروسکوپی را از یک سیستم قطعی معادلات میکروسکوپی ارائه می دهد. معادلات میکروسکوپی در قالب یک سیستم قطعی (نیوتنی) از نوسانگرهای غیرخطی جفت شده برای N ذرات بزرگ و بی نهایت ذرات کوچک ریخته می شوند. معادلات مزوسکوپی معادلات دیفرانسیل معمولی تصادفی (SODE) و معادلات دیفرانسیل جزئی تصادفی (SPDE) هستند و حد ماکروسکوپی با یک معادله دیفرانسیل جزئی سهموی توصیف می‌شود.

تجزیه و تحلیل دقیق SODEs و (شبه- خطی) SPDE ارائه شده است. SPDEهای نیمه خطی (پارابولیک) به عنوان معادلات حمل و نقل تصادفی مرتبه اول نشان داده می شوند که توسط دیفرانسیل های استراتنوویچ هدایت می شوند. نشان داده شده است که تکامل زمانی حرکات براونی مرتبط با پدیده‌های تخلیه که به طور تجربی در کلوئیدها مشاهده شده‌اند، سازگار است. تجزیه و تحلیل کوواریانس فرآیندهای تصادفی و زمینه های تصادفی و همچنین یک بخش بررسی از رویکردهای مختلف به SPDE ها نیز ارائه شده است.

یک پیوست گسترده، این کتاب را هم برای دانشمندان و هم برای دانشجویان فارغ التحصیل که ممکن است در تحلیل تصادفی تخصص نداشته باشند، در دسترس قرار می دهد. دانش آموزان این کتاب را مفید خواهند یافت.

پیتر کوتلنز، استاد ریاضیات در دانشگاه کیس وسترن رزرو در کلیولند، اوهایو است.

This book provides the first rigorous derivation of mesoscopic and macroscopic equations from a deterministic system of microscopic equations. The microscopic equations are cast in the form of a deterministic (Newtonian) system of coupled nonlinear oscillators for N large particles and infinitely many small particles. The mesoscopic equations are stochastic ordinary differential equations (SODEs) and stochastic partial differential equatuions (SPDEs), and the macroscopic limit is described by a parabolic partial differential equation.

A detailed analysis of the SODEs and (quasi-linear) SPDEs is presented. Semi-linear (parabolic) SPDEs are represented as first order stochastic transport equations driven by Stratonovich differentials. The time evolution of correlated Brownian motions is shown to be consistent with the depletion phenomena experimentally observed in colloids. A covariance analysis of the random processes and random fields as well as a review section of various approaches to SPDEs are also provided.

An extensive appendix makes the book accessible to both scientists and graduate students who may not be specialized in stochastic analysis.

Probabilists, mathematical and theoretical physicists as well as mathematical biologists and their graduate students will find this book useful.

Peter Kotelenez is a professor of mathematics at Case Western Reserve University in Cleveland, Ohio.