Hypoelliptic estimates and spectral theory for Fokker-Planck operators and Witten Laplacians

اخیراً علاقه به عملگرهای فوکر-پلانک تجدید شده است که انگیزه آن مشکلاتی در فیزیک آماری، معادلات جنبشی و هندسه دیفرانسیل است. در مقایسه با مسائل استانداردتر در نظریه طیفی عملگرهای دیفرانسیل جزئی، این عملگرها خود به هم متصل نیستند و فقط هیپو بیضوی هستند. هدف از تجزیه و تحلیل ارائه، تا حد امکان به طور کلی، توصیف کمی و کیفی دقیق از بازگشت نمایی به تعادل ترمودینامیکی است. ضمن کاوش و بهبود نتایج اخیر در این راستا، این جلد مروری بر تکنیک‌های شناخته‌شده در موارد زیر را پیشنهاد می‌کند: کم‌بیضوی بودن چند جمله‌ای میدان‌های برداری و همتای جهانی آن. حساب شبه دیفرانسیل جهانی Weyl-Hörmander، نظریه طیفی عملگرهای غیر خود الحاقی، تحلیل نیمه کلاسیک عملگرهای نوع شرودینگر، مجتمع‌های ویتن و نابرابری‌های مورس.

There has recently been a renewal of interest in Fokker-Planck operators, motivated by problems in statistical physics, in kinetic equations and differential geometry. Compared to more standard problems in the spectral theory of partial differential operators, those operators are not self-adjoint and only hypoelliptic. The aim of the analysis is to give, as generally as possible, an accurate qualitative and quantitative description of the exponential return to the thermodynamical equilibrium. While exploring and improving recent results in this direction this volume proposes a review of known techniques on: the hypoellipticity of polynomial of vector fields and its global counterpart; the global Weyl-Hörmander pseudo-differential calculus, the spectral theory of non-self-adjoint operators, the semi-classical analysis of Schrödinger-type operators, the Witten complexes and the Morse inequalities.